Escarrassos de primera

Una de les majors alegries que pot tenir el jugador d’escrabble  és pescar algun escarràs al primer faristol de la partida. I és que aquesta circumstància li és doblement favorable. Per una banda tenir l’escarràs li assegura, gairebé, un scrabble en la jugada en curs o la següent (+50 punts extres) i per l’altra banda impedeix que el tingui el contrari (-50 punts extres). Així es pot pensar que tenir un escarràs es traduirà, en molts casos, en 100 punts de diferència al marcador.

Per aquest motiu hem considerat interessant prguntar-nos quina és la probabilitat de tenir algun escarràs en els primers faristols de la partida?

Per obtenir una resposta cal acudir a la teoria de les probabilitats i aplicar dos dels seus principis bàsics: a) la probabilitat d’un succés és 1 menys la del seu contrari i b) la probabilitat de la intersecció de dos successos és el producte de la probabilitat del primer i la del segon condicionada al primer.  Així, aplicant el principi b) i calculant la probabilitat de no escarràs amb el producte successiu de regles de Laplace condicionades, que porta a la fracció irreduïble 713/825=0,8642 i que, aplicant a), caldrà restar a 1 arribem a la conclusió que la probabilitat de tenir algun escarràs en el primer faristol és del 13,58%

I seguint de forma anàloga amb l’anàlisi detallada de probabilitats s’obté el següent quadre resum:

probabilitat de no tenir cap escarràs en el primer faristol

713/825

86,42%

probabilitat de tenir un escarràs en el primer faristol

217/1650

13,15%

probabilitat de tenir dos escarrassos en el primer faristol

7/1650

0,42%

Ara, considerant l’arbre de possibles resultats per estudiar les probabilitats d’escarràs en el segon faristol (és a dir en els dos primers faristols de la partida) s’arriba al següent quadre:

Escarrassos al faristol inicial del 2n jugador

0

1

2

Escarrassos al faristol inicial del 1r jugador

0

73,8%

12,2%

0,4%

1

12,2%

1%

0%

2

0,4%

0%

0%

I es veu que en el segon faristol el nombre d’escarrassos es distribueix amb la mateixa probabilitat que en el primer.

Anuncis

4 Responses to “Escarrassos de primera”


  1. 1 Dani Juliol 2009 a les 8:25

    Ep, faristolaires!

    Em sembla molt interessant tot el vostre plantejament matemàtic. Tant és així, que després de mirar-ho una mica, he decidit ser una mica perepunyetes: en aquest càlcul heu deixat de banda un factor important, que pot variar sensiblement aquest resultats… Què passa si, d’entrada, tenim uns “senyors”?

    Això complica força el càlcul, oi? M’agradaria tenir la resposta, però tinc les matemàtiques un pèl rovellades…!

  2. 2 UfU Juliol 2009 a les 11:44

    Tens raó, en el càlcul s’ha deixat de banda el fet que si tenim un primer faristol sense escarrassos però amb senyors gaudirem d’una segona oportunitat per a pescar-ne algun (i si torna a sortir senyors d’una tercera, i així ad infinitum).
    Aquesta circumstància no creiem que modifiqui gaire els resultats obtinguts per la poca probabilitat que té d’esdevenir-se. Però ara mateix ens posem a estudiar-la per incloure-la en la taula de resultats (ens caldrà primer calcular la probabilitat de senyors).
    Gràcies per la teva afinada observació, intentarem estar-ne a l’alçada.

  3. 3 UfU Juliol 2009 a les 11:58

    Hola Dani, finalment ja hem calculat la probabilitat de tenir algun escarràs al primer faristol de la partida tenint en compte que si ens surt un senyors podem extreure 7 fitxes noves i tornar a disposar d’una nova oportunitat per pescar-ne algun.
    Els nostres càlculs donen un 13,80% per a aquesta probabilitat, només un 0,22% més que la inicial sense comptar amb els senyors. Aquesta diferència es poc significativa, arrodonides les dues són igual: aproximadament un 14%. per tant creiem que no paga la pena reescriure els quadres que figuren a l’article, només cal considera-los com aproximats arrodonint-los a percentatges enters.
    La descripció més o menys resumida dels nous càlculs està disponible a probabilitatescarrasambsenyors1.pdf
    Gràcies per la teva observació, era molt pertinent i acurada i ens ha ajudat a millorar l’estudi.

  4. 4 Dani Juliol 2009 a les 22:24

    Realment apassionant!

    De debò que m’estan venint ganes de recuperar els meus apunts de mates (vés a saber on paren) i fer-hi un bon repàs! Quan feia COU era un dels meus forts, i el què més m’agradava era precisament la probabilitat i l’estadística… Després vaig derivar cap a altres especialitats, i ara veig que els anys i la manca d’ús han aconseguit rovellar-me completament aquesta habilitat.

    M’alegro que agraiu la meva observació, però observar-ho no té cap mèrit… el què m’agradaria és resoldre-ho!


Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

S'està connectant a %s




Pàgines

Categories


%d bloggers like this: